Loi de Coulomb

La loi de Coulomb, ou la loi du carré inverse de Coulomb, est une loi de physique qui décrit la force interagissant entre des particules électrostatiques chargées électriquement. Dans sa forme scalaire, la loi l’est:

où ke est la constante de Coulomb (ke = 8.99×109 N m2 C−2), q1 et q2 sont les grandeurs signées des charges, et le scalaire r est la distance entre les charges. La force de l’interaction entre les accusations est attrayante si les accusations ont des signes opposés (c. -à-d., F est négatif) et répugnante si elles sont semblables (c. -à-d., F est positif).

La loi a été publiée pour la première fois en 1784 par le physicien français Charles-Augustin de Coulomb et a été essentielle au développement de la théorie de l’électromagnétisme. Étant une loi carrée inverse, elle est analogue à la loi carrée inverse d’Isaac Newton de la gravitation universelle. La loi de Coulomb peut être utilisée pour dériver la loi de Gauss, et vice versa. La loi a fait l’objet de nombreux tests et toutes les observations ont confirmé le principe de la loi.

Histoire

Les cultures antiques du pourtour méditerranéen savaient que certains objets, comme les tiges d’ambre, pouvaient être frottés avec la fourrure de chat pour attirer les objets légers comme des plumes. Thales de Miletus a fait une série d’observations sur l’électricité statique autour de 600 avant JC, à partir de laquelle il a estimé que le frottement a rendu l’ambre magnétique, par opposition à des minéraux tels que la magnétite, qui n’ a pas besoin de frottement. Thales a eu tort de croire que l’attraction était due à un effet magnétique, mais plus tard la science prouverait un lien entre le magnétisme et l’électricité. L’électricité restait à peine plus qu’une curiosité intellectuelle pendant des millénaires jusqu’en 1600, lorsque le scientifique anglais William Gilbert fit une étude minutieuse de l’électricité et du magnétisme, distinguant l’effet lodestone de l’électricité statique produite en frottant l’ambre. Il a inventé le Nouveau mot latin electricus pour désigner la propriété d’attirer les petits objets après avoir été frotté. Cette association donna naissance aux mots anglais “electric” et “electricity”, qui firent leur première apparition sous forme imprimée dans Pseudodoxia Epidemica de Thomas Browne en 1646.

Les premiers chercheurs du XVIIIe siècle qui soupçonnaient que la force électrique diminuait avec la distance comme la force de gravité (c’est-à-dire comme le carré inverse de la distance) comprenaient Daniel Bernoulli et Alessandro Volta, qui mesuraient tous deux la force entre les plaques d’un condensateur, et Franz Aepinus qui supposait la loi du carré inverse en 1758.

Basé sur des expériences avec des sphères chargées électriquement, Joseph Priestley d’Angleterre a été parmi les premiers à proposer que la force électrique a suivi une loi inversée-carrée, similaire à Newton la loi de la gravitation universelle. Toutefois, il n’ a pas généralisé ni développé cela. En 1767, il conjectura que la force entre les charges variait comme le carré inverse de la distance.

En 1769, le physicien écossais John Robison annonça que, selon ses mesures, la force de répulsion entre deux sphères avec des charges du même signe variait de x−2.06.

Au début des années 1770, Henry Cavendish d’Angleterre avait déjà découvert, mais non publié, que la dépendance de la force entre les corps inculpés à l’égard de la distance et de la charge avait déjà été mise au jour.

Enfin, en 1785, le physicien français Charles-Augustin de Coulomb publie ses trois premiers rapports sur l’électricité et le magnétisme où il énonce sa loi. Cette publication a été essentielle au développement de la théorie de l’électromagnétisme. Il a utilisé une balance de torsion pour étudier les forces de répulsion et d’attraction des particules chargées, et a déterminé que l’amplitude de la force électrique entre deux charges ponctuelles est directement proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance entre elles.

La balance de torsion est constituée d’une barre suspendue à son milieu par une fine fibre. La fibre agit comme un ressort de torsion très faible. Dans l’expérience de Coulomb, la balance de torsion était une tige isolante avec une bille recouverte de métal attachée à une extrémité, suspendue par un fil de soie. La balle a été chargée d’une charge connue d’électricité statique, et une deuxième boule chargée de la même polarité s’est approchée. Les deux boules chargées se repulpèrent l’une l’autre, tordant la fibre dans un certain angle, qui pouvait être lu à partir d’une échelle sur l’instrument. En connaissant la force nécessaire pour tordre la fibre dans un angle donné, Coulomb a pu calculer la force entre les boules et en déduire sa loi de proportionnalité à l’inverse du carré.

La loi

La loi de Coulomb le stipule:

L’amplitude de la force électrostatique d’attraction ou de répulsion entre deux charges ponctuelles est directement proportionnelle au produit de l’amplitude des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance entre elles.

La force est le long de la ligne droite qui les rejoint. Si les deux charges ont le même signe, la force électrostatique entre elles est répugnante; si elles ont des signes différents, la force entre elles est attrayante.

La loi de Coulomb peut aussi être présentée comme une simple expression mathématique. Les formes scalaire et vectorielle de l’équation mathématique sont les suivantes

   et  respectivement,

où ke est la constante de Coulomb  (ke = 8.9875517873681764×109 N m2 C−2), q1 et q2 sont les grandeurs signées des charges, le scalaire r est la distance entre les charges, le vecteur r21 = r1 − r2 est la distance vectorielle entre les charges, et 21 = r21/|r21(un vecteur unitaire pointant de q2 à q1). La forme vectorielle de l’équation calcule la force F1 appliquée sur q1 par q2. Si r12 est utilisé à la place, alors l’effet sur q2 peut être trouvé. Il peut également être calculé en utilisant la troisième loi de Newton: F2 = −F1.

Unités

Lorsque la théorie électromagnétique est exprimée en utilisant les unités SI standard, la force est mesurée en newtons, la charge en coulombs et la distance en mètres. La constante de Coulomb est donnée par ke = ​1ε0. La constante εest la permittivité de l’espace libre en C2 m−2 N−1. Et ε est la permittivité relative du matériau dans lequel les charges sont immergées, et est sans dimension.

Les unités dérivées du SI pour le champ électrique sont les volts par mètre, les newtons par coulomb ou les tesla-mètres par seconde.

La loi de Coulomb et la constante de Coulomb peuvent également être interprétées de différentes manières:

  • Unités atomiques. En unités atomiques, la force est exprimée en hartes par rayon de Bohr, la charge en charge élémentaire et les distances en rayon de Bohr.
  • Unités électrostatiques ou unités gaussiennes. Dans les unités électrostatiques et les unités gaussiennes, la charge unitaire (esu ou statcoulomb) est définie de telle sorte que la constante de Coulomb k disparaît parce qu’elle a la valeur d’un et devient sans dimension.

Les unités Cgs sont souvent préférées dans le traitement de l’électromagnétisme, car elles simplifient grandement les formules.

Champ électrique

Un champ électrique est un champ vectoriel qui associe à chaque point de l’espace la force de Coulomb éprouvée par une charge d’essai. Dans le cas le plus simple, le champ est considéré comme étant généré uniquement par une seule source de charge ponctuelle. La force et la direction de la force Coulomb F sur une charge d’essai qt dépend du champ électrique E dans lequel elle se trouve, de sorte que F = qtE. Pour une charge de source ponctuelle négative, la direction est axiale vers l’intérieur.

L’amplitude du champ électrique E peut être dérivée de la loi de Coulomb. En choisissant l’une des charges ponctuelles comme source, et l’autre comme charge d’essai, il découle de la loi de Coulomb que l’amplitude du champ électrique E créé par une charge ponctuelle de source unique q à une certaine distance de celle-ci r dans le vide est donnée par:

La constante de Coulomb

La constante de Coulomb est un facteur de proportionnalité qui apparaît dans la loi de Coulomb ainsi que dans d’autres formules liées à l’électricité. Dénommée ke, elle est aussi appelée constante de force électrique ou constante électrostatique, d’où l’indice e.

La valeur exacte de la constante de Coulomb est:

Conditions de validité

Il y a trois conditions à remplir pour la validité du droit de Coulomb:

  • Les charges doivent avoir une distribution sphérique symétrique (par ex. charges ponctuelles, ou une sphère métallique chargée).
  • Les charges ne doivent pas se chevaucher (p. ex. des charges ponctuelles distinctes).
  • Les charges doivent être stationnaires les unes par rapport aux autres.

Forme scalaire

Lorsqu’il n’est intéressant que de connaître l’ampleur de la force électrostatique (et non sa direction), il peut être plus facile d’envisager une version scalaire de la loi. La forme scalaire de la Loi de Coulomb relie l’amplitude et le signe de la force électrostatique F agissant simultanément sur deux charges ponctuelles qet q2 comme suit:

où r est la distance de séparation et ke est la constante de Coulomb. Si le produit q1q2 est positif, la force entre les deux charges est répugnante; si le produit est négatif, la force entre les deux est attrayante.

Forme vectorielle

La loi de Coulomb stipule que la force électrostatique F1 ressentie par une charge, q1 à la position r1, à proximité d’une autre charge, q2 à la position r2, dans un vide est égale à:

r21 = r1 − r2, le vecteur de l’unité 21 = r21/|r21et ε0 est la constante électrique.

La forme vectorielle de la loi de Coulomb est simplement la définition scalaire de la loi avec la direction donnée par l’unité vectorielle,  21, parallèle à la ligne de la charge q2 à la charge q1. Si les deux charges ont le même signe (comme charges) alors le produit q1q2 est positif et la direction de la force sur q1 est donnée par  21; les charges se repoussent l’une l’autre. Si les charges ont des signes opposés, alors le produit q1q2 est négatif et la direction de la force sur q1 est donnée par −21 = 12; les charges s’attirent.

La force électrostatique F2  ressentie par q2, selon la troisième loi de Newton, est F2 = −F1.

Système de charges discrètes

La loi de superposition permet d’étendre la loi de Coulomb à un nombre quelconque de charges ponctuelles. La force agissant sur une charge ponctuelle due à un système de charges ponctuelles est simplement l’addition vectorielle des forces individuelles agissant seules sur cette charge ponctuelle due à chacune des charges. Le vecteur de force qui en résulte est parallèle au vecteur de champ électrique à ce point, la charge ponctuelle étant retirée.

La force F sur une petite charge q à la position r, due à un système de N charges discrètes dans le vide est:

qi et ri sont respectivement l’amplitude et la position de la jolie charge, i est un vecteur d’unité dans la direction de Ri = r − r(un vecteur pointant des charges qi à q).

Distribution continue des charges

Dans ce cas, le principe de la superposition linéaire est également utilisé. Pour une distribution de charge continue, une intégrale sur la région contenant la charge équivaut à une somme infinie, en traitant chaque élément infinitésimal de l’espace comme une charge ponctuelle dq. La distribution de charge est généralement linéaire, superficielle ou volumétrique.

Pour une distribution de charge linéaire (une bonne approximation pour la charge dans un fil) où λ(r′) donne la charge par unité de longueur à la position r′, et dl′ est un élément infinitésimal de longueur,

Pour une distribution de charge superficielle (une bonne approximation pour une charge sur une plaque dans un condensateur à plaques parallèles) où σ(r′) donne la charge par unité de surface à la position r′ et dA′ est un élément infinitésimal de surface,

Pour une distribution de charge volumique (telle que la charge dans un métal en vrac) où ρ(r′) donne la charge par unité de volume à la position r′ et dV′ est un élément infinitésimal de volume,

La force sur une petite charge d’essai q′ à la position r dans le vide est donnée par l’intégrale sur la distribution de charge:

Expérience simple pour vérifier la loi de Coulomb

Il est possible de vérifier la loi de Coulomb par une simple expérience. Considérons deux petites sphères de masse m et charge du même signe q, suspendues à deux cordes de masse négligeable de longueur l. Les forces agissant sur chaque sphère sont de trois: le poids mg, la tension du câble T et la force électrique F.

En état d’équilibre:

et:

Diviser (1) par (2):

Soit L1 la distance entre les sphères chargées; la force de répulsion entre elles F1, en supposant que la loi de Coulomb soit correcte, est égale à

donc:

Si nous déchargeons maintenant l’une des sphères, et que nous la mettons en contact avec la sphère chargée, chacune d’entre elles acquiert une charge q/2. Dans l’état d’équilibre, la distance entre les charges sera de L2 < L1 et la force de répulsion entre elles sera:

On sait que F2 = mg de bronzage θ2. Et..:

En divisant (4) par (5), nous obtenons:

Mesurer les angles θ1 et θ2 et la distance entre les charges L1 et L2 est suffisant pour vérifier que l’égalité est vraie compte tenu de l’erreur expérimentale. Dans la pratique, les angles peuvent être difficiles à mesurer, donc si la longueur des cordes est suffisamment grande, les angles seront assez petits pour faire l’approximation suivante:

En utilisant cette approximation, la relation (6) devient l’expression beaucoup plus simple:

De cette façon, la vérification se limite à mesurer la distance entre les charges et à vérifier que la division se rapproche de la valeur théorique.

Approximation électrostatique

Dans l’une ou l’autre de ces formules, la loi de Coulomb n’est tout à fait exacte que lorsque les objets sont immobiles, et elle n’est à peu près correcte que pour les mouvements lents. Ces conditions sont appelées collectivement approximation électrostatique. Lorsque le mouvement a lieu, des champs magnétiques qui modifient la force exercée sur les deux objets sont produits. L’interaction magnétique entre les charges en mouvement peut être considérée comme une manifestation de la force du champ électrostatique mais avec la théorie de la relativité d’Einstein prise en considération.

Forces atomiques

La loi de Coulomb s’applique même à l’intérieur des atomes, décrivant correctement la force entre le noyau atomique chargé positivement et chacun des électrons chargés négativement. Cette loi simple tient également compte correctement des forces qui lient les atomes entre eux pour former des molécules et des forces qui lient les atomes et les molécules pour former des solides et des liquides. Généralement, à mesure que la distance entre les ions augmente, la force d’attraction et l’énergie de liaison s’approchent de zéro et la liaison ionique est moins favorable. Au fur et à mesure que l’ampleur des charges opposées augmente, l’énergie augmente et la liaison ionique est plus favorable.

 

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