Le principe de Bernoulli

En dynamique des fluides, le principe de Bernoulli stipule qu’une augmentation de la vitesse d’un fluide se produit simultanément avec une diminution de la pression ou une diminution de l’énergie potentielle du fluide. Le principe porte le nom de Daniel Bernoulli qui l’ a publié dans son livre Hydrodynamica en 1738.

Le principe de Bernoulli peut être appliqué à différents types d’écoulement de fluide, ce qui donne lieu à diverses formes d’équation de Bernoulli; il existe différentes formes d’équation de Bernoulli pour différents types d’écoulement. La forme simple de l’équation de Bernoulli est valable pour les écoulements incompressibles (par exemple, la plupart des écoulements liquides et des gaz se déplaçant à faible nombre de Mach). Des formes plus avancées peuvent être appliquées aux écoulements compressibles à des valeurs de Mach plus élevées (voir les dérivations de l’équation de Bernoulli).

Le principe de Bernoulli peut être dérivé du principe de conservation de l’énergie. Cela signifie que, dans un flux constant, la somme de toutes les formes d’énergie dans un fluide le long d’une ligne de courant est la même à tous les points de cette ligne de courant. Cela exige que la somme de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle et de l’énergie interne reste constante. Ainsi, une augmentation de la vitesse du fluide – ce qui implique une augmentation de sa pression dynamique et de son énergie cinétique – se produit avec une diminution simultanée de la somme de sa pression statique, de son énergie potentielle et de son énergie interne. Si le fluide s’écoule d’un réservoir, la somme de toutes les formes d’énergie est la même sur toutes les lignes de flottaison parce que dans un réservoir, l’énergie par unité de volume (la somme de la pression et du potentiel gravitationnel? g h) est la même partout.

Le principe de Bernoulli peut aussi être dérivé directement de la deuxième loi du mouvement d’Isaac Newton. Si un petit volume de fluide s’écoule horizontalement d’une région de haute pression à une région de basse pression, alors il y a plus de pression derrière que devant. Cela donne une force nette sur le volume, en l’accélérant le long de la ligne.

Les particules liquides ne sont soumises qu’ à la pression et à leur propre poids. Si un fluide s’écoule horizontalement et le long d’une section d’une ligne aérodynamique, où la vitesse augmente, c’est uniquement parce que le fluide sur cette section est passé d’une zone de pression plus élevée à une zone de pression plus faible; et si sa vitesse diminue, c’est uniquement parce qu’il est passé d’une zone de pression plus faible à une zone de pression plus élevée. Par conséquent, dans un fluide qui s’écoule horizontalement, la vitesse la plus élevée se produit là où la pression est la plus faible, et la vitesse la plus basse, là où la pression est la plus élevée.

Équation d’écoulement incompressible

Dans la plupart des écoulements de liquides et de gaz à faible indice de Mach, la densité d’une parcelle de fluide peut être considérée comme constante, indépendamment des variations de pression dans le flux. Par conséquent, le fluide peut être considéré comme incompressible et ces écoulements sont appelés écoulements incompressibles. Bernoulli a effectué ses expériences sur les liquides, de sorte que son équation dans sa forme originale n’est valable que pour le flux incompressible. Une forme commune de l’équation de Bernoulli, valable à n’importe quel point arbitraire le long d’une rationalité, est:

 

 

où:

  • v est la vitesse d’écoulement du fluide à un point sur une ligne de profil,
  • g est l’accélération due à la gravité,
  • z est l’élévation du point au-dessus d’un plan de référence, la direction z positive pointant vers le haut – donc dans la direction opposée à l’accélération gravitationnelle,
  • p est la pression au point choisi, et
  • ρ est la densité du fluide à tous les points du fluide.

La constante du côté droit de l’équation dépend uniquement de la ligne de rationalité choisie, alors que v, z et p dépendent du point particulier de cette ligne de rationalité.

Pour que cette équation de Bernoulli s’applique, les hypothèses suivantes doivent être respectées:

  • le débit doit être constant, c’est-à-dire que les propriétés du fluide (vitesse, densité, etc…) à un point ne peuvent pas changer avec le temps,
  • le débit doit être incompressible – même si la pression varie, la densité doit rester constante le long d’une ligne de courant;
  • la friction par des forces visqueuses doit être négligeable.

Pour les champs de force conservateurs (non limités au champ gravitationnel), l’équation de Bernoulli peut être généralisée comme:

 

 

où Ψ est le potentiel de force au point considéré sur la ligne de profil. Par exemple, pour la gravité terrestre Ψ = gz.

En multipliant avec la densité du fluide ρ l’équation (A) peut être réécrite comme suit:

 

 

ou:

 

 

là où

  • q = 1/2ρvest la pression dynamique,
  • h = z + p/ρg est la tête piézométrique ou la tête hydraulique (la somme de l’élévation z et de la tête de pression) et
  • p0 = p + est la pression totale (la somme de la pression statique p et de la pression dynamique q).

La constante de l’équation de Bernoulli peut être normalisée. Une approche commune est en termes de hauteur manométrique totale ou de hauteur manométrique H:

 

 

Les équations ci-dessus suggèrent qu’il y a une vitesse d’écoulement à laquelle la pression est nulle, et à des vitesses encore plus élevées la pression est négative. Le plus souvent, les gaz et les liquides ne sont pas capables d’une pression absolue négative, voire nulle, de sorte que l’équation de Bernoulli cesse clairement d’être valable avant que la pression zéro ne soit atteinte. Dans les liquides – lorsque la pression devient trop basse – il y a cavitation. Les équations ci-dessus utilisent une relation linéaire entre la vitesse d’écoulement au carré et la pression. A des vitesses d’écoulement plus élevées dans les gaz, ou pour les ondes sonores dans le liquide, les changements de densité massique deviennent significatifs de sorte que l’hypothèse de densité constante est invalide.

Formulaire simplifié

Dans de nombreuses applications de l’équation de Bernoulli, le changement du terme ρgz le long de la ligne de rationalisation est si petit par rapport aux autres termes qu’il peut être ignoré. Par exemple, dans le cas d’un aéronef en vol, le changement de hauteur z le long d’une ligne aérodynamique est si faible que le terme ρgz peut être omis. Cela permet de présenter l’équation ci-dessus sous la forme simplifiée suivante:

p0 est appelé “pression totale”, et q est “pression dynamique”. De nombreux auteurs se réfèrent à la pression p comme pression statique pour la distinguer de la pression totale p0 et de la pression dynamique q. Dans Aerodynamics, L. J. Clancy écrit:”Pour le distinguer des pressions totales et dynamiques, la pression réelle du fluide, qui n’est pas associée à son mouvement mais à son état, est souvent appelée pression statique, mais là où l’expression pression seule est utilisée, elle se réfère à cette pression statique.

La forme simplifiée de l’équation de Bernoulli peut être résumée dans l’équation de mot mémorable suivante:

pression statique + pression dynamique = pression totale

Chaque point d’un fluide à débit constant, quelle que soit la vitesse du fluide à ce point, possède sa propre pression statique p et sa propre pression dynamique q. Leur somme p + q est définie comme étant la pression totale p0. L’importance du principe de Bernoulli peut maintenant être résumée comme suit:”la pression totale est constante tout au long d’un processus de rationalisation”.

Si l’écoulement du fluide est irréversible, la pression totale sur chaque profil est la même et le principe de Bernoulli peut se résumer en ces termes:”la pression totale est constante partout dans l’écoulement du fluide”. Il est raisonnable de supposer qu’il existe un écoulement irrotational dans toute situation où une grande quantité de fluide passe devant un corps solide. Par exemple, les aéronefs en vol et les navires qui se déplacent dans des plans d’eau ouverts. Cependant, il est important de se rappeler que le principe de Bernoulli ne s’applique pas dans la couche limite ni dans le passage de fluides à travers de longs tuyaux.

Si l’écoulement du fluide à un certain point le long d’une ligne de courant est interrompu, ce point s’appelle un point de stagnation, et à ce point la pression totale est égale à la pression de stagnation.

Applicabilité de l’équation d’écoulement incompressible au débit des gaz

L’équation de Bernoulli est parfois valable pour le débit des gaz: à condition qu’il n’ y ait pas de transfert d’énergie cinétique ou potentielle du flux gazeux vers la compression ou la dilatation du gaz. Si la pression et le volume du gaz changent simultanément, les travaux seront effectués sur ou par le gaz. Dans ce cas, l’équation de Bernoulli – dans sa forme incompressible de flux – ne peut être considérée comme valable. Cependant, si le processus gazier est entièrement isobarique, ou isochorique, alors aucun travail n’est fait sur ou par le gaz, de sorte que le bilan énergétique simple n’est pas perturbé. Selon la loi sur le gaz, un procédé isobarique ou isochorique est généralement le seul moyen d’assurer une densité constante dans un gaz. La densité du gaz sera également proportionnelle au rapport entre la pression et la température absolue, mais ce rapport variera en fonction de la compression ou de l’expansion, quelle que soit la quantité de chaleur ajoutée ou retirée. La seule exception est si le transfert de chaleur net est nul, comme dans un cycle thermodynamique complet, ou dans un processus isentropique individuel (sans frottement adiabatique), et même alors ce processus réversible doit être inversé, pour ramener le gaz à la pression initiale et au volume spécifique, et donc à la densité. Ce n’est qu’ à ce moment-là que l’équation de Bernoulli originale, non modifiée, est applicable. Dans ce cas, l’équation peut être utilisée si la vitesse d’écoulement du gaz est suffisamment inférieure à la vitesse du son, de telle sorte que la variation de densité du gaz (due à cet effet) le long de chaque ligne de profil peut être ignorée. Un débit adiabatique inférieur à Mach 0,3 est généralement considéré comme suffisamment lent.

Flux de potentiel instable

L’équation de Bernoulli pour l’écoulement de potentiel instable est utilisée dans la théorie des ondes de surface océaniques et de l’acoustique.

Pour un écoulement sans rotation, la vitesse d’écoulement peut être décrite comme le gradient suivant
φ d’un potentiel de vélocité φ. Dans ce cas, et pour une densité constante ρ les équations de momentum des équations d’Euler peuvent être intégrées:

 

 

qui est une équation de Bernoulli valable également pour les flux dépendants instables ou temporels. Ici φ/t  désigne la dérivée partielle du potentiel de vitesse φ par rapport au temps t, et v = |φ| est la vitesse d’écoulement. La fonction f (t) dépend uniquement du temps et non de la position dans le fluide. Par conséquent, l’équation de Bernoulli à un moment donné t ne s’applique pas seulement le long d’un certain profil, mais dans tout le domaine des fluides. Il en va de même pour le cas particulier d’un écoulement irrotational constant, auquel cas f est une constante.

De plus, on peut rendre f (t) égal à zéro en l’incorporant dans le potentiel de vélocité à l’aide de la transformation.

 

 

résultant

 

 

Notez que la relation du potentiel à la vitesse d’écoulement n’est pas affectée par cette transformation: Φ = ∇φ.

L’équation de Bernoulli pour les écoulements de potentiel instable semble également jouer un rôle central dans le principe variational de Luke, une description variationnelle des écoulements de surface libre en utilisant le Lagrangien (à ne pas confondre avec les coordonnées Lagrangiennes).

Equation de débit compressible

Bernoulli développé son principe à partir de ses observations sur les liquides, et son équation n’est applicable que pour les fluides incompressibles, et les fluides compressibles jusqu’ à environ Mach nombre 0,3. Il est possible d’utiliser les principes fondamentaux de la physique pour développer des équations similaires applicables aux fluides compressibles. Il existe de nombreuses équations, chacune adaptée à une application particulière, mais toutes sont analogues à l’équation de Bernoulli et tous ne s’appuient sur rien de plus que les principes fondamentaux de la physique comme les lois de Newton du mouvement ou la première loi de la thermodynamique.

Débit compressible en dynamique des fluides

Pour un fluide compressible, avec une équation d’état barotrope, et sous l’action de forces conservatrices,

 

 

où:

  • p est la pression
  • ρ est la densité et  indique que c’est une fonction de la pression
  • v est la vitesse d’écoulement
  • Ψ est le potentiel associé au champ de force conservateur, souvent le potentiel gravitationnel.

Dans les situations d’ingénierie, les altitudes sont généralement faibles par rapport à la taille de la Terre, et les échelles temporelles d’écoulement des fluides sont suffisamment petites pour considérer l’équation de l’état comme adiabatique. Dans ce cas, l’équation ci-dessus pour un gaz idéal devient:

 

 

où, en plus des conditions énumérées ci-dessus:

  • γ est le rapport des chaleurs spécifiques du fluide
  • g est l’accélération due à la gravité
  • z est l’élévation du point au-dessus d’un plan de référence

Dans de nombreuses applications du débit compressible, les changements d’élévation sont négligeables par rapport aux autres termes, de sorte que le terme gz peut être omis. Une forme très utile de l’équation est alors:

 

 

où:

  • p0 est la pression totale
  • ρ0 est la densité totale

Débit compressible en thermodynamique

La forme la plus générale de l’équation, qui convient à l’utilisation en thermodynamique dans le cas d’un débit (quasi) constant, est:

 

 

Ici w est l’enthalpie par unité de masse, qui est aussi souvent écrit comme h (à ne pas confondre avec “tête” ou “hauteur”).

Notez que w = ε + p/ρ où  ε est l’énergie thermodynamique par unité de masse, également appelée énergie interne spécifique. Ainsi, pour une énergie interne constante  ε l’équation se réduit à la forme incompressible.

La constante du côté droit est souvent appelée la constante de Bernoulli et indiquée par b. Pour un flux adiabatique inviscide constant sans sources ou puits d’énergie supplémentaires, b est constant le long d’une ligne de courant donnée. Plus généralement, lorsque b peut varier le long des lignes de flottaison, il s’avère encore un paramètre utile, lié à la “tête” du fluide (voir ci-dessous).

Lorsque le changement dans Ψ peut être ignoré, une forme très utile de cette équation est:

 

 

w0 est l’enthalpie totale. Pour un gaz parfaitement calorique comme un gaz idéal, l’enthalpie est directement proportionnelle à la température, ce qui conduit au concept de température totale (ou de stagnation).

Lorsque des ondes de choc sont présentes, dans un cadre de référence dans lequel le choc est stationnaire et le flux stable, de nombreux paramètres de l’équation de Bernoulli subissent des changements brusques en passant à travers le choc. Le paramètre de Bernoulli lui-même n’est toutefois pas affecté. Une exception à cette règle est les chocs radiatifs, qui violent les hypothèses conduisant à l’équation de Bernoulli, à savoir l’absence de puits ou de sources d’énergie supplémentaires.

Applications

Dans la vie quotidienne moderne, il y a beaucoup d’observations qui peuvent être expliquées avec succès par l’application du principe de Bernoulli, même si aucun fluide réel n’est totalement invisible et qu’une faible viscosité a souvent un effet important sur le débit.

  • Le principe de Bernoulli peut être utilisé pour calculer la force de levage sur un profil, si le comportement de l’écoulement du fluide à proximité du film est connu. Par exemple, si l’air qui s’écoule au-delà de la surface supérieure de l’aile d’un aéronef se déplace plus rapidement que l’air qui s’écoule au-delà de la surface inférieure, le principe de Bernoulli implique que la pression sur les surfaces de l’aile sera plus faible au-dessus que au-dessous. Cette différence de pression se traduit par une force de levage ascendante. Chaque fois que l’on connaît la distribution de la vitesse au-delà des surfaces supérieure et inférieure d’une aile, les forces de portance peuvent être calculées (à une bonne approximation) à l’aide des équations de Bernoulli – établies par Bernoulli plus d’un siècle avant que les premières ailes artificielles ne soient utilisées pour le vol. Le principe de Bernoulli n’explique pas pourquoi l’air passe plus vite par le haut de l’aile et plus lentement par le bas. Voir l’article sur le lift aérodynamique pour plus d’infos.
  • Le carburateur utilisé dans de nombreux moteurs alternatifs contient un venturi pour créer une zone de basse pression afin d’aspirer le carburant dans le carburateur et de le mélanger complètement avec l’air entrant. La basse pression dans la gorge d’un venturi peut s’expliquer par le principe de Bernoulli; dans la gorge étroite, l’air se déplace à sa vitesse la plus rapide et par conséquent, il est à sa pression la plus basse.
  • Un injecteur sur une locomotive à vapeur (ou chaudière statique).
  • Le tube de Pitot et le port statique d’un avion sont utilisés pour déterminer la vitesse de l’avion. Ces deux dispositifs sont reliés à l’anémomètre, qui détermine la pression dynamique du flux d’air passant devant l’avion. La pression dynamique est la différence entre la pression de stagnation et la pression statique. Le principe de Bernoulli est utilisé pour calibrer l’anémomètre de manière à ce qu’il affiche la vitesse indiquée en fonction de la pression dynamique.
  • La vitesse d’écoulement d’un fluide peut être mesurée à l’aide d’un appareil comme un Venturi-mètre ou une plaque d’orifice, qui peut être placée dans une tuyauterie pour réduire le diamètre de l’écoulement. Pour un dispositif horizontal, l’équation de continuité montre que pour un fluide incompressible, la réduction du diamètre entraîne une augmentation de la vitesse d’écoulement du fluide. Par la suite, le principe de Bernoulli montre qu’il doit y avoir une diminution de la pression dans la région à diamètre réduit.
    Ce phénomène est connu sous le nom d’effet Venturi.
  • Le taux de vidange maximal possible d’un réservoir avec un trou ou un robinet à la base peut être calculé directement à partir de l’équation de Bernoulli, et se révèle proportionnel à la racine carrée de la hauteur du fluide dans le réservoir. C’est la loi de Torricelli, ce qui montre que la loi de Torricelli est compatible avec le principe de Bernoulli. La viscosité diminue ce taux de drainage. Cela se reflète dans le coefficient de décharge, qui est fonction du nombre de Reynolds et de la forme de l’orifice.
  • La poignée Bernoulli s’appuie sur ce principe pour créer une force adhésive sans contact entre une surface et la pince.

Malentendus sur la génération d’ascenseurs

De nombreuses explications peuvent être trouvées pour expliquer la génération de portance (sur les ailes, les pales d’hélices, etc.); certaines de ces explications peuvent être trompeuses, et d’autres sont fausses, en particulier l’idée que les particules d’air circulant au-dessus et au-dessous d’une aile bombée devraient atteindre le bord de fuite simultanément. Cela a été une source de discussions passionnées au fil des ans. En particulier, il y a eu des débats sur la question de savoir si le principe de Bernoulli ou les lois du mouvement de Newton expliquaient le mieux l’ascenseur. Les écrits modernes s’accordent à dire que le principe de Bernoulli et les lois de Newton sont pertinents et que l’un ou l’autre peut être utilisé pour décrire correctement l’ascenseur.

Plusieurs de ces explications utilisent le principe de Bernoulli pour relier la cinématique du flux aux pressions induites par le flux. En cas d’explications incorrectes (ou partiellement correctes) fondées sur le principe de Bernoulli, les erreurs se produisent généralement dans les hypothèses sur la cinématique de flux et la façon dont elles sont produites. Ce n’est pas le principe de Bernoulli lui-même qui est remis en question parce que ce principe est bien établi (le flux d’air au-dessus de l’aile est plus rapide, la question est de savoir pourquoi il est plus rapide).

Mauvaises applications du principe de Bernoulli dans les démonstrations communes en classe

Il y a plusieurs démonstrations en classe qui sont parfois mal expliquées en utilisant le principe de Bernoulli. L’une consiste à tenir un morceau de papier à l’horizontale pour qu’il s’abaisse vers le bas, puis à souffler par-dessus. Au fur et à mesure que le manifestant souffle sur le papier, le papier monte. On affirme ensuite que c’est parce que “l’air circulant plus vite a une pression plus faible”.

Un problème avec cette explication peut être vu en soufflant le long du bas du papier: si la déflexion est due simplement à un mouvement plus rapide de l’air, on peut s’attendre à ce que le papier déviera vers le bas, mais le papier déviera vers le haut indépendamment du fait que l’air se déplaçant plus rapidement soit en haut ou en bas. Un autre problème est que lorsque l’air sort de la bouche du démonstrateur, il a la même pression que l’air ambiant; l’air n’ a pas une pression plus basse simplement parce qu’il bouge; dans la démonstration, la pression statique de l’air sortant de la bouche du démonstrateur est égale à la pression de l’air environnant. Un troisième problème est qu’il est faux d’établir une connexion entre le flux des deux côtés du papier en utilisant l’équation de Bernoulli puisque l’air au-dessus et en dessous sont différents champs d’écoulement et le principe de Bernoulli ne s’applique que dans un champ d’écoulement.

Comme le libellé du principe peut changer ses implications, il est important de le formuler correctement. Ce que le principe de Bernoulli dit en fait, c’est que dans un flux d’énergie constante, lorsque le fluide traverse une région de pression plus basse, il s’accélère et vice versa. Ainsi, le principe de Bernoulli concerne les changements de vitesse et de pression dans un champ d’écoulement. Il ne peut pas être utilisé pour comparer différents champs de flux.

Une explication correcte de la raison pour laquelle le papier s’élève serait d’observer que le panache suit la courbe du papier et qu’un profil courbe développera un gradient de pression perpendiculaire à la direction de l’écoulement, avec une pression plus faible à l’intérieur de la courbe. Le principe de Bernoulli prédit que la diminution de pression est associée à une augmentation de la vitesse, c’est-à-dire que l’air passant au-dessus du papier, il accélère et se déplace plus vite qu’il ne bougeait quand il sortait de la bouche du manifestant. Mais cela ne ressort pas de la démonstration.

D’autres démonstrations courantes en classe, comme le fait de souffler entre deux sphères suspendues, de gonfler un gros sac ou de suspendre une balle dans un courant d’air, sont parfois expliquées de façon aussi trompeuse en disant que “l’air circulant plus rapidement a une pression plus faible”.

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