Coulomb-Gesetz

Das Coulomb’sche Gesetz, oder Coulomb’s inverse-square law, ist ein Gesetz der Physik, das die Kraft beschreibt, die zwischen statischen elektrisch geladenen Teilchen interagiert. In seiner skalaren Form ist das Gesetz:

wobei ke die Coulomb-Konstante ist (ke = 8.99×109 N m2 C−2), q1 und q2 die vorzeichenbehafteten Größen der Ladungen sind und der Skalar r der Abstand zwischen den Ladungen ist. Die Kraft der Wechselwirkung zwischen den Ladungen ist attraktiv, wenn die Ladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben (d.h. F ist negativ) und abstoßend, wenn sie gleichartig signiert sind (d.h. F ist positiv).

Das Gesetz wurde erstmals 1784 vom französischen Physiker Charles-Augustin de Coulomb veröffentlicht und war für die Entwicklung der Theorie des Elektromagnetismus unerlässlich. Da es sich um ein inverses Quadratgesetz handelt, ist es analog zu Isaac Newtons inversem Quadratgesetz der universellen Gravitation. Das Coulombsche Gesetz kann verwendet werden, um das Gaußsche Gesetz abzuleiten, und umgekehrt. Das Gesetz wurde ausgiebig getestet, und alle Beobachtungen haben den Grundsatz des Gesetzes bestätigt.

Geschichte

Alte Kulturen rund um das Mittelmeer wussten, dass bestimmte Gegenstände, wie z.B. Bernsteinstangen, mit Katzenfell eingerieben werden konnten, um leichte Gegenstände wie Federn anzuziehen. Thales of Miletus machte eine Reihe von Beobachtungen zur statischen Elektrizität um 600 v. Chr., von denen er glaubte, dass die Reibung Bernstein magnetisch macht, im Gegensatz zu Mineralien wie Magnetit, die keine Reibung benötigen. Thales war falsch in der Annahme, dass die Anziehungskraft auf einen magnetischen Effekt zurückzuführen sei, aber später würde die Wissenschaft eine Verbindung zwischen Magnetismus und Elektrizität beweisen. Die Elektrizität blieb bis 1600, als der englische Wissenschaftler William Gilbert eine sorgfältige Studie über Elektrizität und Magnetismus durchführte, die den Magnetismus von der statischen Elektrizität unterscheidet, die durch das Reiben von Bernstein erzeugt wird, kaum mehr als eine intellektuelle Neugierde. Er prägte das neue lateinische Wort electricus, um auf die Eigenschaft der Anziehung kleiner Objekte nach dem Reiben hinzuweisen. Aus dieser Verbindung entstanden die englischen Wörter “electric” und “electricity”, die in Thomas Browne’s Pseudodoxia Epidemica von 1646 erstmals gedruckt wurden.

Frühe Forscher des 18. Jahrhunderts, die vermuteten, dass die elektrische Kraft mit der Entfernung abnahm, wie es die Schwerkraft tat (d.h., wie das umgekehrte Quadrat der Entfernung), schlossen Daniel Bernoulli und Alessandro Volta ein, die beide die Kraft zwischen den Platten eines Kondensators maßen, und Franz Aepinus, der 1758 das Umkehrquadratgesetz annahm.

Basierend auf Experimenten mit elektrisch geladenen Kugeln war Joseph Priestley aus England einer der ersten, der vorschlug, dass elektrische Kraft einem inversen Quadratgesetz folgt, ähnlich dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation. Er hat dies jedoch nicht verallgemeinert oder näher ausgeführt. Im Jahre 1767 vermutete er, dass die Kraft zwischen den Ladungen variiert als das umgekehrte Quadrat der Entfernung.

Im Jahre 1769 verkündete der schottische Physiker John Robison, dass nach seinen Messungen die Abstoßungskraft zwischen zwei Kugeln mit Ladungen des gleichen Vorzeichens unterschiedlich ist wie bei  x−2.06.

In den frühen 1770er Jahren wurde die Abhängigkeit der Kraft zwischen geladenen Körpern von Entfernung und Ladung bereits von Henry Cavendish aus England entdeckt, aber nicht veröffentlicht.

Schließlich veröffentlichte der französische Physiker Charles-Augustin de Coulomb 1785 seine ersten drei Berichte über Elektrizität und Magnetismus, in denen er sein Gesetz verkündete. Diese Veröffentlichung war wesentlich für die Entwicklung der Theorie des Elektromagnetismus. Er verwendete eine Torsionswaage, um die Abstoßungs- und Anziehungskräfte geladener Teilchen zu untersuchen, und stellte fest, dass die Größe der elektrischen Kraft zwischen zwei Punktladungen direkt proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist.

Die Torsionswaage besteht aus einem Stab, der von einer dünnen Faser in der Mitte aufgehängt ist. Die Faser wirkt als sehr schwache Torsionsfeder. In Coulomb’s Experiment war die Torsionswaage ein isolierender Stab mit einer metallbeschichteten Kugel an einem Ende, die an einem Seidenfaden aufgehängt war. Die Kugel wurde mit einer bekannten Ladung statischer Elektrizität aufgeladen, und eine zweite geladene Kugel gleicher Polarität wurde in ihre Nähe gebracht. Die beiden geladenen Kugeln stoßen sich gegenseitig ab und verdrehen die Faser um einen bestimmten Winkel, der an einer Skala auf dem Instrument abgelesen werden kann. Indem er wusste, wie viel Kraft es brauchte, um die Faser durch einen bestimmten Winkel zu drehen, war Coulomb in der Lage, die Kraft zwischen den Kugeln zu berechnen und sein Gesetz der umgekehrten Proportionalität abzuleiten.

Das Gesetz

Coulomb’s Gesetz besagt das:

Die Größe der elektrostatischen Anziehungskraft oder Abstoßung zwischen zwei Punktladungen ist direkt proportional zum Produkt der Ladungsgrößen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes zwischen ihnen.

Die Kraft ist entlang der geraden Linie, die sie verbindet. Wenn die beiden Ladungen das gleiche Vorzeichen haben, ist die elektrostatische Kraft zwischen ihnen abstoßend; wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben, ist die Kraft zwischen ihnen anziehend.

Das Coulomb’sche Gesetz kann auch als einfacher mathematischer Ausdruck angegeben werden. Die skalaren und vektoriellen Formen der mathematischen Gleichung sind

und   bzw,

wobei ke die Konstante von Coulomb ist (ke = 8.9875517873681764×109 N m2 C−2), q1 und q2 die Vorzeichen der Vorzeichen der Ladung sind, der Skalenwert r der Abstand zwischen den Ladungen ist, der Vektor r21 = r1 − r2 der Vektor der Ladung ist und die Anzahl der Ladungen ist 21 = r21/|r21|(ein Einheitsvektor, der von q2 nach q1 zeigt). Die Vektorform der Gleichung berechnet die Kraft  F1, die auf q1 durch q2 ausgeübt wird. Wenn stattdessen r12 verwendet wird, kann der Effekt auf q2 gefunden werden. Sie kann auch nach dem dritten Newtonschen Gesetz berechnet werden: F2 = −F1.

Einheiten

Wenn die elektromagnetische Theorie mit den Standard-SI-Einheiten ausgedrückt wird, wird die Kraft in Newton, die Ladung in Coulombs und die Entfernung in Metern gemessen. Die Coulomb-Konstante wird durch ke = ​1ε0.​ angegeben. Die Konstante ist ε0 die Dielektrizitätskonstante des freien Raumes in C2 m−2 N−1. Und ε ist die relative Dielektrizitätskonstante des Materials, in das die Ladungen eingetaucht sind, und ist dimensionslos.

Die SI-abgeleiteten Einheiten für das elektrische Feld sind Volt pro Meter, Newton pro Coulomb oder Tesla Meter pro Sekunde.

Coulomb’s Gesetz und Coulomb’s Konstante können auch in verschiedenen Begriffen interpretiert werden:

  • Atomare Einheiten. In atomaren Einheiten wird die Kraft in Hartrees pro Bohrradius, die Ladung in Form der Elementarladung und die Abstände in Form des Bohrradius ausgedrückt.
  • Elektrostatische Einheiten oder Gaußsche Einheiten. In elektrostatischen Einheiten und Gaußschen Einheiten wird die Einheitsladung (esu oder statcoulomb) so definiert, dass die Coulomb-Konstante k verschwindet, weil sie den Wert eins hat und dimensionslos wird.

Cgs-Einheiten werden häufig bei der Behandlung von Elektromagnetismus bevorzugt, da sie die Formeln stark vereinfachen.

Elektrisches Feld

Ein elektrisches Feld ist ein Vektorfeld, das jedem Punkt im Raum die Coulomb-Kraft zuordnet, die von einer Testladung erfahren wird. Im einfachsten Fall wird davon ausgegangen, dass das Feld nur durch eine einzige Punktladung erzeugt wird. Die Stärke und Richtung der Coulomb-Kraft F auf eine Testladung qt hängt vom elektrischen Feld E ab, in dem sie sich befindet, so dass F = qtE. Wenn das Feld durch eine positive Quellpunktladung q erzeugt wird, zeigt die Richtung des elektrischen Feldes entlang radial nach außen gerichteter Linien, d.h. in die Richtung, in der sich eine positive Punkttestladung qt bewegen würde, wenn sie im Feld platziert würde. Bei einer negativen Punktquellenladung ist die Richtung radial nach innen gerichtet.

Die Größe des elektrischen Feldes E lässt sich aus dem Coulomb’schen Gesetz ableiten. Indem man eine der Punktladungen als Quelle und die andere als Testladung auswählt, ergibt sich aus dem Coulomb’schen Gesetz, dass die Größe des elektrischen Feldes E, das durch eine einzelne Punktladung q in einem bestimmten Abstand von ihr erzeugt wird, im Vakuum gegeben ist:

Coulomb-Konstante

Coulomb’s Konstante ist ein Proportionalitätsfaktor, der sowohl im Coulomb’schen Gesetz als auch in anderen elektrischen Formeln auftaucht. Bezeichnet ke, wird es auch die elektrische Kraftkonstante oder elektrostatische Konstante genannt, daher der Index e.

Der genaue Wert der Coulomb-Konstante ist:

Bedingungen für die Gültigkeit

Für die Gültigkeit des Coulomb-Gesetzes sind drei Bedingungen zu erfüllen:

  • Die Ladungen müssen eine sphärisch-symmetrische Verteilung haben (z.B. Punktladungen oder eine geladene Metallkugel).
  • Die Entgelte dürfen sich nicht überlappen (z.B. unterschiedliche Punktentgelte).
  • Die Ladungen müssen zueinander ortsfest sein.

Skalare Form

Wenn es nur von Interesse ist, die Größe der elektrostatischen Kraft (und nicht ihre Richtung) zu kennen, kann es am einfachsten sein, eine skalare Version des Gesetzes in Betracht zu ziehen. Die skalare Form des Coulomb’schen Gesetzes bezieht sich auf die Größe und das Vorzeichen der elektrostatischen Kraft F, die gleichzeitig auf zwei Punktladungen q1 und qwirkt:

wobei r der Trennungsabstand und ke die Coulomb-Konstante ist. Wenn das Produkt q1q2 positiv ist, ist die Kraft zwischen den beiden Ladungen abstoßend; wenn das Produkt negativ ist, ist die Kraft zwischen ihnen attraktiv.

Vektorform

Coulomb’s Gesetz besagt, dass die elektrostatische Kraft F1, die durch eine Ladung, q1 an Position r1, in der Nähe einer anderen Ladung, q2 an Position r2, in einem Vakuum erfahren wird, gleich ist:

wobei r21 = r1 − r2, der Einheitsvektor 21 = r21/|r21|, und ε0 ist die elektrische Konstante.

Die Vektorform des Coulombschen Gesetzes ist einfach die skalare Definition des Gesetzes mit der Richtung, die durch den Einheitsvektor, den sogenannten”Vektor”, gegeben ist 21, und zwar parallel zur Linie von Ladung qzu Ladung q1. Wenn beide Ladungen das gleiche Vorzeichen haben (wie Ladungen), dann ist das Produkt q2q1 positiv, und die Richtung der Kraft auf q1 ist durch die Angabe von  21 gegeben; die Ladungen stoßen sich gegenseitig ab. Wenn die Ladungen entgegengesetzte Vorzeichen haben, dann ist das Produkt q1q2 negativ und die Richtung der Kraft auf q1 ist gegeben durch −21 = 12, die Ladungen ziehen sich gegenseitig an.

Die elektrostatische Kraft F2, die q2 nach dem dritten Newtonschen Gesetz erfährt, ist F2 = −F1.

System diskreter Ladungen

Das Gesetz der Überlagerung erlaubt es, das Coulomb-Gesetz auf eine beliebige Anzahl von Punktladungen auszudehnen. Die Kraft, die auf eine Punktladung durch ein System von Punktladungen einwirkt, ist einfach die vektorielle Addition der einzelnen Kräfte, die allein auf diese Punktladung einwirken, die auf jede der Ladungen zurückzuführen ist. Der resultierende Kraftvektor ist parallel zum elektrischen Feldvektor an diesem Punkt, wobei die Punktladung entfernt wird.

Die Kraft F auf eine kleine Ladung q an Position r, bedingt durch ein System von N diskreten Ladungen im Vakuum, ist:

wobei qi und  ri die Größe bzw. Position der i-ten Ladung sind, R̂i ist ein Einheitsvektor in Richtung Ri = r − ri (ein Vektor, der von den Ladungen qi bis q zeigt).

Kontinuierliche Ladungsverteilung

In diesem Fall wird auch das Prinzip der linearen Überlagerung angewendet. Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ist ein Integral über den Bereich, der die Ladung enthält, gleichbedeutend mit einer unendlichen Summierung, wobei jedes infinitesimale Element des Raums als Punktladung dq behandelt wird. Die Ladungsverteilung ist in der Regel linear, flächenhaft oder volumetrisch.

Für eine lineare Ladungsverteilung (eine gute Annäherung an die Ladung in einem Draht), wobei λ(r′) die Ladung pro Längeneinheit an der Position r′ angibt und dl′ ein unendlich kleines Längenelement ist,

Für eine Oberflächenladungsverteilung (eine gute Näherung für die Ladung auf einer Platte in einem Parallelplattenkondensator), wobei σ(r′) die Ladung pro Flächeneinheit an der Position r′ angibt und dA′ ein verschwindend kleines Flächenelement ist,

Für eine Volumen-Ladungsverteilung (z.B. Ladung innerhalb eines Bulk-Metalls), wobei ρ(r′) die Ladung pro Volumeneinheit an Position r′ angibt, und dV′ ein verschwindend kleines Volumenelement ist,

Die Kraft auf eine kleine Prüfladung q′ an Position r im Vakuum wird durch das Integral über die Ladungsverteilung gegeben:

Einfaches Experiment zur Überprüfung des Coulomb-Gesetzes

Es ist möglich, das Coulomb’sche Gesetz mit einem einfachen Experiment zu verifizieren. Betrachten wir zwei kleine Kugeln mit der Masse m und der gleichen Ladung q, die an zwei Seilen mit vernachlässigbarer Masse der Länge l hängen. Die Kräfte, die auf jede Kugel einwirken, sind drei: das Gewicht mg, die Seilspannung T und die elektrische Kraft F.

Im Gleichgewichtszustand:

und 

Teilung (1) durch (2):

L1 soll der Abstand zwischen den geladenen Kugeln sein; die Abstoßungskraft zwischen ihnen F1, vorausgesetzt, Coulomb’s Gesetz ist korrekt, ist gleich

also:

Wenn wir nun eine der Sphären entladen und sie mit der geladenen Sphäre in Kontakt bringen, erhält jede von ihnen eine Ladung q/2.  Im Gleichgewichtszustand beträgt der Abstand zwischen den Ladungen L2 < L1 und die Abstoßungskraft zwischen den Ladungen:

Wir wissen, dass F2 = mg tan θ2.  Und:

Dividieren (4) durch (5), bekommen wir:

Die Messung der Winkel  θ1 und θ2  der Winkel und der Abstand zwischen den beiden Ladungen L1 und L2 ist ausreichend, um zu überprüfen, ob die Gleichheit unter Berücksichtigung des experimentellen Fehlers wahr ist. In der Praxis kann es schwierig sein, Winkel zu messen. Wenn also die Länge der Seile groß genug ist, werden die Winkel klein genug sein, um die folgende Annäherung vorzunehmen:

Mit dieser Annäherung wird die Beziehung (6) zum viel einfacheren Ausdruck:

Auf diese Weise beschränkt sich die Überprüfung auf die Messung des Abstands zwischen den Ladungen und die Überprüfung, ob die Division dem theoretischen Wert nahe kommt.

Elektrostatische Approximation

In beiden Formulierungen ist das Coulomb-Gesetz nur dann vollständig genau, wenn die Objekte ortsfest sind, und bleibt nur bei langsamer Bewegung annähernd korrekt. Diese Bedingungen werden allgemein als elektrostatische Approximation bezeichnet. Bei der Bewegung entstehen Magnetfelder, die die Kraft auf die beiden Objekte verändern. Die magnetische Wechselwirkung zwischen bewegten Ladungen kann als Manifestation der Kraft aus dem elektrostatischen Feld betrachtet werden, wobei Einsteins Relativitätstheorie berücksichtigt wird.

Atomare Kräfte

Das Coulombsche Gesetz gilt sogar innerhalb von Atomen und beschreibt korrekt die Kraft zwischen dem positiv geladenen Atomkern und jedem der negativ geladenen Elektronen. Dieses einfache Gesetz berücksichtigt auch korrekt die Kräfte, die Atome zu Molekülen verbinden, und die Kräfte, die Atome und Moleküle zu Festkörpern und Flüssigkeiten verbinden. Im Allgemeinen, wie der Abstand zwischen den Ionen erhöht, die Kraft der Anziehung, und bindende Energie, Ansatz Null und ionische Bindung ist weniger günstig. Mit zunehmender Größe der gegensätzlichen Ladungen steigt die Energie und die ionische Bindung ist günstiger.

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